复数的模，也称为绝对值或范数，是复平面中一个复数到原点的距离。对于任何复数 $z = a + bi$，其模可以通过以下公式求得：
$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$$
其中，$a$ 和 $b$ 分别是复数 $z$ 的实部和虚部。
这个公式的意义在于，它将复数的模转化为了直角三角形的斜边长度。如果我们有一个复平面上的单位圆（半径为1），那么从原点出发到达任意一点 $z$ 所需的距离就等于该点对应的复数的模。
几何解释
在复平面上，复数 $z = a + bi$ 可以看作是一个点 $（a, b）$。复数的模就是这个点到原点 $（0, 0）$ 的距离。通过勾股定理，我们可以得到这个距离的计算公式：
$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$$
示例
假设有一个复数 $z = 3 + 4i$，其实部 $a = 3$，虚部 $b = 4$。根据公式，其模为：
$$|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$
其他方法
除了上述直接计算的方法外，还可以通过以下几种方法来计算复数的模：
使用共轭：
复数的共轭表示将虚部取相反数，即对于复数 $z = a + bi$，其共轭为 $z^* = a - bi$。复数与其共轭之间的关系是 $|z| = \sqrt{z \cdot z^*}$。
利用三角形式：
复数可以表示为三角形式 $z = r （\cos \theta + i \sin \theta）$，其中 $r$ 是复数的模，$\theta$ 是复数的辐角。通过求三角函数式的最值问题，也可以得到复数的模。
总结
复数的模是复平面上一个复数到原点的距离，可以通过公式 $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ 来计算，其中 $a$ 和 $b$ 分别是复数的实部和虚部。这个公式具有几何意义，表示复平面上的点到原点的距离。此外，还可以通过共轭和三角形式等方法来计算复数的模。
